第11章　没有微积分之前：运动为什么难以连续地书写

11.1　连续运动，不会自动变成连续知识

一颗球从斜面上滚下，人看见它一直在动。看见连续运动，并不等于已经能够说明每一时刻怎样运动。我们可以记录起点与终点，可以比较整个过程用了多久，也可以在若干位置留下标记；但两个标记之间发生的变化，仍然提出新的问题。

这不是古人才遇到的困难。今天，即使用精密仪器取得大量离散记录，从有限资料建立连续关系也仍然需要模型。记录再密，仍要说明哪些记录属于同一运动、如何比较时间、怎样处理误差，以及为什么可以采用某一类函数。连续运动的日常显露，与连续关系的数学成立之间，并没有一条不经思考便能通过的道路。

第一编已经说明，一个变量不是裸数的容器。现在需要进一步追问：使变量能够变化，还需要什么？差异必须可以比较，比较必须保持某种同一性，局部变化还要能够进入更大的组织。微积分的重要性正在这里。它不仅让计算更快，而且使一大类局部变化与整体关系取得新的可操作形式。

《科学与微积分》把这一转变概括为差异的表征与整体的重构。[4，第3—8章]本编继承这一方向，但不将其写成“微积分之前没有科学”。有能力处理某些面积、体积、平衡或运动问题，与拥有一套可以广泛迁移的微分积分算法，是不同的历史成就。

11.2　阿基米德留下的不是一片空白

阿基米德《方法》的开头，向埃拉托色尼说明机械研究怎样帮助发现数学关系，同时明确区分这种发现途径与随后需要完成的几何证明。[10，致埃拉托色尼的开篇说明]这一原典材料足以否定一种粗糙叙述：古人在牛顿之前只会静止地看图，从不让力学和数学互相启发。

更有价值的是，原典把发生过程保留下来。一个结论怎样首先变得可见，与它怎样获得证明，并不是完全相同的工作。机械方式可以引导猜想，几何论证则承担另外的约束。这种区别与本书正在建立的层次十分接近：创造的入口、形式的正确性与共同接受的理由，可以相互支持，却不能直接画等号。

本书在这里作的是方法上的对读，而不是声称阿基米德已经使用SDE术语，也不是把他的证明偷偷翻译成现代极限语言后，宣布古代微积分与现代体系没有区别。历史的丰富性正在于：某些关系已经被深入研究，而符号、一般算法、问题范围与证明标准尚有不同。

因此，书写微积分的创造，应当既看见前史，也看见新组织的形成。没有前史，创造像无源奇迹；没有组织差别，创造又被说成旧知识换了名字。我们要追踪的，是零散而深刻的做法怎样进入能够反复生成新问题与新解答的共同系统。

11.3　三个问题，在同一处相遇

第一个问题是速度。知道一段时间走了多远，只能直接得到这段时间的平均变化率；要给某一时刻的速度一个确定含义，需要进一步处理时间间隔缩小的关系。

第二个问题是切线。曲线整体弯曲，而切线在一点给出一种局部方向。两点连成割线很容易，一点的方向怎样由附近关系确定，却需要说明。单凭把尺子贴在图上，无法替所有曲线给出一般算法。

第三个问题是面积或其他累积量。矩形面积可以直接相乘，弯曲边界围成的区域则需要比较、分割和控制剩余部分。将很多小量拼接成整体，必须说明拼接误差怎样受到限制，以及不同分割是否趋向同一个结果。

这三个问题并不是毫无关联的计算技巧。速度与切线都在追问局部变化，面积则追问局部贡献怎样组成整体。微积分把这些方向之间的联系发展成可操作的结构，使原来必须为不同问题反复设计的方法，能够获得更广的迁移能力。这样的统一不是取消具体问题，而是让一个问题的解法能够进入另一个问题。

以下用现代记号作三个推导。这些推导用于说明数学内容，不应被误认作古代或十七世纪作者原来的表达。历史原典与现代理解的差别，必须保持可见。

11.4　从平均速度到瞬时速度

假设在某个明确的模型中，位置由x(t)=at²给出，其中a是具有相应量纲的常量。时间从t增加到t+h，平均速度为：

随着h趋向零，右端趋向2at。我们于是将该模型在时刻t的瞬时速度定义为这个极限：

这里没有把零除以零当作普通除法。我们先对非零间隔形成差商，再研究它在间隔缩小时是否趋向确定值。瞬时速度并不是在一个没有时间厚度的照片中直接读出的东西，而是通过邻近关系获得的局部规定。

这个推导同时显示，局部并不等于孤立。x(t)的一个单独数值不能决定v(t)；速度需要附近位置之间的组织。它也不是任意选择，因为一旦函数及参数含义确定，极限便受到严格约束。微分把“附近怎样变化”转成一个新的量，却没有许可研究者随意决定这个量。

作为物理模型，x(t)=at²还需要经验根据。代数计算完全正确，并不自动保证某一颗真实小球满足该式。要检验它，必须说明位置记录、时间比较和适用范围。第一编的发生问题没有被数学消灭，而是以变量与模型条件的方式继续在场。

11.5　从一条割线到一个局部方向

把同一个函数看成平面曲线y=ax²。连接横坐标x与x+h处的两点，割线斜率同样是2ax+ah。若极限存在，切线斜率就是2ax。速度问题与切线问题使用了相同结构，却不意味着运动和几何已经成为同一种经验事件。

它们共享的是一种可迁移的数学组织：比较相邻输入造成的输出差异，再研究比值的局部极限。这个组织可以在不同物理与几何问题中复用，但每次复用都需要重新说明输入、输出和单位。数学迁移的力量与物理解释的责任，从一开始就应当一起看见。

切线还提供一种非常重要的近似。对于可微函数，小位移h所引起的变化，可以写成f′(x)h加上比h更小的余项。这使一条弯曲关系在局部获得可计算的线性形式。线性不是被宣布为世界本来如此，而是在一定邻域和误差要求下形成的近似。

因此，微分并不把曲线“切成无数小直线”以后宣布曲线消失。它保持局部与整体的区别：局部线性关系有适用范围，多个局部之间怎样连接还需要进一步研究。将局部近似推广到大范围而不检查误差，恰恰是微分使用中的一种典型越界。

11.6　从有限求和到一个整体量

考虑区间零到一上曲线y=x²之下的面积。这是一个纯数学例子。把区间等分为n段，取每段右端的函数值构成矩形，总面积为：

于是S_n趋向三分之一。若取每段左端形成另一组矩形，其结果也趋向三分之一；两组估计之间的差距逐渐缩小。这种控制说明，整体值不是从某一幅看起来足够细的图里猜出来的，而是在分割继续细化时取得稳定。

这个例子有一个不能省略的地方：我们已经规定了区域、函数与分割。所谓“把小量加起来”，不是随意收集很多数。每一项必须属于同一个整体问题，组合方式必须与所求的量相容。若把面积元素、时间间隔和位移直接相加，符号再相似，也不会自动形成有意义的积分。

从SDE角度，本书把这一点解释为整体重建需要构成关系。这个解释不能反过来被说成积分定义已经证明SDE本体论。数学给出的是一组明确条件下的整体极限；发生学追问这些量及其组合何以进入物理研究。两种说明相接，却不互相冒充。

有限分割与无限极限也不能被当作两种现实仪器。实际计算总在有限步骤中进行，精确数学结果则使我们能够控制近似的方向和误差。理想化的价值不是要求世界执行无限次操作，而是让有限操作获得可以检查的标准。

11.7　位置表不能独自决定连续世界

假设我们在不同时间t₁到tₙ测得位置，某个多项式p(t)穿过所有记录点。是否已经唯一确定运动？没有。对任意常数α，构造：

在每个记录时刻，乘积中的一项为零，所以qα(tᵢ)=p(tᵢ)。但是，在记录点之间，不同α通常给出不同曲线；甚至在记录点处，它们的导数也可能不同。全部已记录位置相同，并不保证速度与加速度相同。

这个简单构造不是说实验永远无法认识运动，而是说明有限资料必须与其他约束联合。动力学、允许状态、平滑性、边界条件以及新的记录，都可能排除大量候选。科学的工作不是在数据之后随意涂一条线，而是建立能够承担更多独立约束的组织。

这也让“微分忠实表征差异”得到更严格的含义。忠实不是未经模型便直接抄写世界，而是明确交代记录、近似和构成关系，并让新结果能够纠正模型。[4，第5、8章；5，第21章]如果模型是任意挑选，求导只会精确地显示这个选择的后果，不会自动证明选择正确。

这里正连接到第一编的创造判据。新的函数形式可以是重要创造，但它只有与操作对象及独立证据接上，才成为新的物理规定。数学的丰富性提供可能空间，物理研究负责使部分可能受到世界回应的限制。

11.8　间隔越小，测量就一定越好吗

在理想定义中，我们让h趋向零；在实际测量中，却不能因此直接得出“取样间隔越小越准确”。为了看清这一点，再构造一个误差分析。假定位置记录为真实模型值加误差，每次误差的绝对值不超过ε；又假定所研究区间内二阶导数绝对值不超过M。

用前向差商估计速度。由两次读数误差造成的影响，绝对值最多为2ε/h。由有限间隔代替导数造成的截断误差，最多为Mh/2。因此，对正的h，有一个上界：

这不是某台仪器的实测性能，而是上述假设下的数学估计。第一项随着h缩小而增大，第二项随着h缩小而减小。在这个简化上界中，平衡两者得到h=2√(ε/M)，前提是ε与M均为正，且该间隔仍位于模型适用范围内。

这个计算说明，极限定义与有限测量承担不同工作。定义告诉我们所求量是什么，误差分析则告诉我们有限资料怎样有理由地逼近它。若忽略后者，越接近零的差分可能越受到读数误差支配；若忽略前者，又不知道有限差商应当逼近什么。

对本书的桥梁而言，这是一项积极结果：微积分不是脱离仪器的纯思辨，仪器也不是只要足够精密就不需要数学。二者在误差、尺度与操作中互相限制。新的物理量，正通过这种组织变得可以被可靠地使用，而不是在一个抽象极限符号出现时就自动完成全部发生。

11.9　差异需要单位、方向与可比较性

速度的量纲不同于位置，面积的量纲不同于长度。单位不是在最后给数字加一个装饰；它帮助辨认哪些运算有意义，哪些关系可能发生混淆。若时间单位改了，变化率的数值会相应改变；若坐标方向改了，速度符号也可能改变。这些改变可以被明确换算，不应被解释为物理规律失去公共性。

同样，微分所需要的邻近关系也不是由字母自己产生。我们必须知道在何种参数上趋近，哪些变化被允许，哪些状态被排除。对于一个受约束的系统，若只允许沿某一关系运动，就不能把所有变量都当成可以独立变化。这些限制不是对自由计算的妨碍，而是物理问题本身的一部分。

因此，微分之前已经有构成工作，微分之后仍有构成工作。前者使差异能够比较，后者检验局部关系能否被迁移和组合。数学并没有把SDE中的D全部装进一个dx；它是在某种规范化之后，对D中可以数量化的一部分组织提供表达。

这项有限性不削弱数学。正因为它说明自己处理什么、不处理什么，数学的结论才足够强。把所有差异都叫微分，反而会失去微分之所以能够严格运作的条件。

11.10　临界的一步：把比较组织成可以继续的规则

设想两种研究能力。第一种能够准确回答一个已经画好的图形面积，第二种能够在图形的某个边界参数改变时，继续回答面积怎样变化。两种能力都有数学价值，后者却增加了新的生成范围：研究者不必每次从头建立一个彼此无关的问题。

用现代例子说明，令A(b)=∫₀ᵇx²dx，则A(b)=b³/3。一个固定的b只给出一个面积，整个函数却组织了一族面积；再求导得到A′(b)=b²，又把整体面积的变化连回边界处的局部值。我们不只是知道一个结果，还知道怎样在一组允许变化中继续产生结果。

这正是本书区分结果与生成组织的一个小型模型。孤立面积值可以是S的入口，一族参数化关系则使新的D能够被安排；区间、函数与边界之间的组织参与E的说明。不过，这些对应只是本书对具体数学工作的分析，不是宣称A、b与x²分别天然等于S、D、E。

这个例子还说明，统一不会消灭不同。不同b的面积并不相同，却可以被同一种关系承接；一个共同算法并不要求所有问题同数，只要求问题满足相应构成条件。公共数学由此不再只是大家记住同一个答案，而是能够共同实施一套有约束的变化。

它与物理学的连接也就更加具体。若某一累积量随时间或空间范围变化，研究者可以追问变化与局部贡献之间是否存在这种关系，而不是预先假设存在。模型一旦建立，新的测量便可以检验它。数学给出了可提出的问题形式，物理研究使这种形式进入具体发生。

所以，微积分的新能力不只是无穷小更小、求和更多，而是把过去容易分散的比较组织成能够继续运行的规则。这种规则既使研究者节省重复劳动，也改变了他能够走向哪些尚未经历的情形。创造的价值，由此从一个漂亮结果扩展为持续生成新差异的能力。

11.11　微积分带来的，是新的往返能力

回顾本章三个问题，速度和切线把局部变化组织起来，面积把局部贡献连到整体。真正具有革命意义的，不只是各自求出几个新数，而是局部与整体之间开始获得可以反复往返的共同方法。下一章将通过牛顿与莱布尼茨的不同路线，考察这种能力怎样取得明确形式。

从本书的发生学立场看，这种往返能力参与创造新的物理世界。它使运动不只以起止或粗略快慢成立，也能够以连续变化率、轨道约束及可检验的局部响应成立；使整体不只是一幅完成的图，也能够由可说明的局部关系和边界组织起来。

但这里不能倒置论证。我们尚不能因为微积分能够表达运动，就说运动完全由微积分制造；也不能因为实际运动可以被某种公式描述，就说数学只是被动记录。需要研究的是，两者怎样共同形成新的物理规定，以及这些规定怎样通过操作与证据获得稳定。

物理学思想史的这一页，于是既不是空白突然被天才填满，也不是一个永远既定的世界换了一套方便符号。它是一种新的发生能力正在形成：局部差异变得可以精确追问，整体关系变得可以重新构造，而每一次构造又能够返回局部，提出此前尚未以这种方式成立的问题。