第十八章　测量与单位：经典物理如何创造公共“物理”

一、两位诚实的人为什么会量出不同结果

两间实验室收到同一根金属杆。甲报告长度略大，乙报告长度略小。我们不能因为二者都诚实，就宣布杆子同时拥有两个互相冲突的长度；也不能立刻认定其中一人操作粗心。甲在较暖的房间测量，乙先把杆子放在较冷的恒温箱里；两人使用不同的支撑位置，也可能把端面上的不同接触点作为边界。数字之间的差异，先要求我们询问他们究竟在实现怎样一个“长度”。

这不是测量结束后才补写的注意事项。若测量对象的状态、边界和比较方式没有被规定，所谓相同的量尚未充分成立。金属杆在日常辨认中可以保持同一，却在温度、受力和放置方式改变时产生不同尺寸。公共物理必须提供一种程序，使这些差异能够被记录、转换和检验，而不把任何一次读数直接封为对象的全部真相。

“谁来测都一样”因此应当被改写为：不同合格测量者在规定条件及明确变换规则下，可以得到彼此相容的结果。相容不要求最后一位数字完全相同，更不意味着任何时间、任何地点、任何仪器都必须显示同一个数。它要求差异具有可检查的来由，并且在说明不确定性的条件下进入共同比较。

在本书的主轴下，这种公共性参与物理世界的创造。没有它，公式即使在一间实验室内有效，也还不能稳定进入其他人的实验。钟、尺、天平以及围绕它们形成的校准、记录和复查，构成了不同SDE能够相互接续的条件。它们并非把一个早已公共完备的物理世界搬运到各地，而是在实际工作中不断建立公共“同一”的资格。

二、先问量什么，再问量得多准

金属杆的长度可以指自由放置时的端面间距，也可以指一定张力下的标线距离。它还可以指沿弯曲中心线的长度，或者两个端点之间的直线距离。这些问题都可以合理，但不能把它们的结果未经说明地放在同一列中平均。若量的定义发生改变，更多小数位只会把概念差异包装得更加精密。

设一根略弯的细杆，沿表面的路径长于两端直线间距。一个人用软尺贴着表面量，另一个人用端点定位装置量，两者差异可能来自对象定义，而不是仪器失准。解决办法不是先买更贵的仪器，而是明确实际任务：制造插入某个槽口的部件时，端点位置或外包尺寸可能关键；计算材料用量时，沿杆长度又可能更重要。测量问题的提出参与选择何种物理规定需要稳定显露。

这里也存在模型尺度。把一个表面视为平面，就暂时压缩了微小凹凸；提高分辨率以后，接触点的选择可能改变结果。若规定测头直径和接触力，测量便获得一个明确的作用尺度。这个尺度不必被视为缺陷，它可以是任务所需的合理封装。但若研究问题改变，就需要检查此前封装是否仍然保留了应当保留的差异。

对于时间也是如此。测一只摆的周期，要先规定“回到同一状态”是什么意思：从左端到右端，还是从左端经过右端再回到左端？若数过中点的次数而不记录方向，很容易把半周期当作全周期。钟并没有替人自动解决所有事件识别问题。读数之前，事件边界已经通过观察、触发和记录规则获得规定。

因此，精确测量并非先有一个孤立数字，再努力减少周围噪声。它是对象状态、操作事件、尺度与比较关系共同形成的显露。对定义的检查，不是反科学的怀疑，而是避免把不同事情误当作同一事情的第一道工序。

三、尺子也会变化

为了让开篇的金属杆问题可以计算，设定一个简化模型：在所考察的小温度范围内，杆的线膨胀系数近似恒定，且杆温度均匀、没有额外应力。用参考温度下的长度L₀表示，温度升高ΔT以后有：

L ≈ L₀(1 + αΔT)。

若L₀为一米，假设α为每开尔文百万分之十，温度高出十开尔文，则长度约增加零点一毫米。这里膨胀系数是本章自设的示例参数，不指认某种具体材料的标准值。对粗略木工来说，这个变化也许可以忽略；对精密配合来说，它可能足以影响使用。

但测量尺本身也可能膨胀。如果杆和尺具有相近的膨胀系数，又处于相同温度，它们的长度比可能变化很小。于是，稳定读数不等于对象没有变化；对象和参照共同变化，可以使比值保持近似不变。若换用另一种材料的尺子，又可能显出此前不明显的差异。测量从来不是对象单方面向一只完全不变的眼睛交出属性。

这类问题要求把温度计、尺、杆以及它们各自的响应关系放入一个可检查模型。E在这里不是“房间温度、空气、人员”等背景名称的堆积，而是温度如何改变杆和尺的长度，温度计读数如何参与修正，接触与热平衡怎样影响读数的成立。只有明确这些相互规定，环境因素才成为当前测量的构成解释。

我们还要检查修正是否超出证据范围。如果只在很窄的温区估计了膨胀系数，就不能毫无检验地用同一线性式外推到极端温度。校正公式也会拥有适用域。把一项不可靠修正精确计算到十位小数，不会使结果更可靠；它只会使错误承诺获得更漂亮的外表。

四、钟如何把连续变化变成公共时间

测量摆动时，一个直接办法是手动启动和停止计时。若人的反应迟延在起止两个时刻都相同，部分影响可能抵消；若起点依靠视觉、终点依靠听觉，迟延结构可能不同。结果的偏差不是“人参与了”这一事实本身，而是参与方式中哪些差异没有被识别和控制。把人从叙述中删去，不会让这些差异自动消失。

常用的改善是计时多个周期，再除以周期数。假设起止总计时的不确定性规模约为零点二秒，测二十个周期时，平均每周期对应的这一分量约为零点零一秒；若只测一个周期，就无法获得同样的缩减。这只是一个说明操作设计的简化估计，未把所有误差都收入其中，也没有假设重复次数能无限消除系统偏差。

例如，摆的振幅若持续减小，而周期在研究精度下受振幅影响，二十个周期的平均值就不能无条件当作某个固定振幅下的周期。延长观察序列降低了一类计时影响，却可能引入状态变化的影响。操作改进必须同时检查它改变了什么，不能把“多测一些”当成普遍有效的按钮。

不同实验室要比较周期，还需要知道各自时钟的速率是否相容。零点相差一小时不会必然损害一秒间隔的比较，速率偏差则会持续改变间隔结果。把两个时钟调到同时显示十二点，只解决了一个时刻的对齐，不等于已经验证它们随后走得同样快。这一区分使同步、频率比较与长时间稳定性成为不同任务。

经典测量中的时间因而不是一串从天空直接落下的刻度。周期事件、计数方式、起止判定和时钟比较共同构成可使用的时间尺度。后来的物理还会进一步追问不同运动状态和引力条件下的时钟关系；在本章阶段，至少已经可以看到，同样的数字格式并不保证同样的测量含义。

五、天平为什么不是一只放大的手

手掂物体，感受到的是身体、支撑方式和物体共同产生的响应。天平把比较重组为另一种互动：在近似相同的重力条件下，比较两侧的作用及力臂关系。对于理想等臂天平，在忽略浮力等影响时，两边重力中的共同因子可以约去，于是能够比较质量。这里起作用的是一种对共同条件不敏感的结构，而不是人的感觉被简单放大。

如果两边力臂稍有差异，直接把平衡等同于质量相等就会出错。可以交换物体与砝码的位置，利用两次比较识别或抵消某些影响。这个动作很普通，却体现了重要的知识生成方式：不是增加一条抽象假设，而是改变差异序列，让原先隐藏在一次读数里的装置属性显露出来。

空气浮力也会参与精密称量。两个质量相同、体积不同的物体，在同一空气中受到的浮力不同；因此天平实际响应的作用差，不能在任何精度下都直接等同于真空中的质量差。修正需要密度、体积和空气状况的信息。如果这些输入不够可靠，就应把残余影响计入结果的不确定性，而不是因为已经写出公式就声称全部消除。

用弹簧装置称量还要区分力与质量。装置在一个地点按质量标度刻好，并不意味着移到不同重力条件下仍然无需调整就能显示同一质量。这里不是质量随意变化，而是仪器把作用量转换成显示数字的关系依赖条件。公共单位的名字印在面板上，不足以保证整个测量过程已经公共化。

从SDE分析看，天平创造的是一种新的可比较显露：物体、砝码、支点、交换操作和读数规则共同支持稳定的质量关系。客体性的质量规定不等于SDE中的E；E指的是这些特征怎样互相成立。主体选择何种精度，互动决定装置怎样响应，客体显露在这样的组织中取得可迁移性，三号位与三维必须始终分清。

六、单位的公共性需要制度，也需要实验

公共单位不是靠每个人心里觉得“大概一样”维持的。一八七五年签署的《米制公约》建立了国际计量合作的组织框架；一八八九年的第一届国际计量大会认可米与千克的国际原器，米原器的长度还连同规定温度一起获得定义。这里的物质实物、状态条件、比较程序与国际协作共同进入公共尺度。[18-1][18-2]

这段历史不应被简化为政府下令，所以大家采用同样数字。行政承认可以规定使用哪个单位，却不能凭命令使一根金属杆不再膨胀，也不能保证副本与原器完全无差别。公共性要求把实际差异测出来并记录，使各地使用者知道自己的参照与共同参照之间有什么关系。恰恰是允许记录不完全相同，标准体系才有可能支持更可靠的一致。

同时，实验能力也需要组织条件。标准器怎样保存、谁有资格使用、比较结果怎样公开、损坏后怎样处理，都会影响量度关系能否持续。把这些全称为科学外部背景，会看不到知识传播为何可能在一个环节中断。但把它们全称为权力决定，也会遗漏仪器和比较结果对制度安排提出的抵抗。

设一个地区宣布所有工作尺都等于标准尺，而实际比较显示其中某批尺存在稳定偏差。若制度只维护名义上的相同，公共测量会失效；若制度允许记录偏差、修正转换并追查来源，统一反而得到加强。可纠正性是公共标准的组成部分，不是标准权威受到威胁时才临时打开的例外。

这也说明公共物理的成立不等于知识从某个中心向外原样复制。副本进入新的温度、运输与使用条件后，需要当地的比较和维护。中心与地方通过回报差异不断修正关系网络。传播本身参与知识继续发生，不能把传播者想成只搬运不变数字的容器。

七、校准不是把指针拨到满意的位置

现代计量词汇把校准描述为，在规定条件下建立标准量值与仪器示值之间的关系，并利用这一关系得到测量结果；它明确区分校准与调整。这里借用现代术语说明经典测量问题，不把二十一世纪的定义逐字安到早期实验者头上。[18-3]

做一个自拟算例。假设某温度显示装置在窄范围内近似满足“示值等于参考温度值乘一点零二，再加一度”。那么直接读到五十二度时，按该模型修正得到五十度。把装置的零点调好，只能处理加一度这一部分，并不能同时保证一点零二的比例偏差消失。一个校准点也不足以决定一个带斜率与截距的线性关系。

即使两个校准点恰好落在线上，中间区间仍可能存在非线性；若要判断它，应增加能够检验线性假设的点。校准不是为了让仪器看起来与标准完全相同，而是为了把转换关系及其限度说明白。调整可以改善显示便利性，完整的校准则需要在调整后确认关系有没有改变。

计量溯源进一步要求，测量结果能够通过有记录且不中断的校准链联系到参照，各环节都贡献不确定性。现代定义还特别提醒，具备溯源性不自动保证结果适用于某项任务，也不自动排除错误。[18-4]

假设一项加工要求长度差控制在百分之一毫米内，而测量链的不确定性远大于这个尺度，那么一张有效的溯源说明并不能使结果突然足够精细。它说明结果与参照如何联系，却不能替代用途判断。这种区别阻止我们把“有标准”“有证书”“有数字”当作任务已经完成的三个同义句。

八、不确定性让差异进入结果

本章使用的不确定性不是“也许一切都错了”的空泛怀疑。现代计量学用它表达：依据已经使用的信息，对被测量赋值时还存在怎样的分散范围或规模；其中可以包含统计重复、修正量和标准量值等来源。[18-5] 它不等于一个已知但故意不改正的错误，也不等于仪器显示的最小分度。

例如，一次长度测量显示一百点零零毫米，不能只凭末尾两位小数断言结果准确到百分之一毫米。显示格式可能很细，而温度修正、接触变形和校准输入仍较不确定。反过来，一项测量最后只报告到十分之一毫米，也可能已经完全满足所需任务。数字多寡与知识质量之间不存在简单的单调关系。

设两个互不相关的标准不确定性分量，分别为零点零三毫米和零点零四毫米；在适合使用方差合成的模型下，合成标准不确定性为零点零五毫米，而不是零点零七毫米。若两个分量具有相关性，计算就必须加入相应项。这里的数字是示例，不是一项真实实验报告。它说明不确定性的组织需要模型，不能把所有可能影响的最大值随意相加，也不能不看依赖关系就一律开平方。

同一仪器重复一百次所得的平均值，可能降低一部分随机分散，却保留共同的标度偏差。若一百次都使用同一支偏长的尺，读数彼此非常接近也不能证明尺度正确。高度重复与外部相容是两种不同检验：前者在相对固定条件下看稳定，后者通过改变条件和参照看可迁移性。

认识到不确定性，并不是让结果从公共世界退回私人意见。相反，它把原先含混的“差不多”转化为可以讨论的结构，使研究者知道哪些差异值得追查、哪些差异暂不足以判定冲突，以及下一次改善应该作用于哪一个环节。误差与不确定性管理因此参与物理对象的稳定，而不只是给已经稳定的对象贴上尾注。

九、跨实验室的相容是怎样检验的

设两个实验室测量已经约定状态的一根杆，结果分别为一百点零零毫米和一百点零六毫米，二者各有零点零五毫米的标准不确定性。如果两项结果不相关，差值的标准不确定性约为零点零七一毫米；若预先采用两倍标准不确定性作为比较阈值，这个差值没有越过该阈值。我们可以说它们在该判据下相容，不能说已经证明两个实验绝无差错。

现代计量相容性概念正是把结果差与差值不确定性联系起来，并要求考虑结果之间的相关性。[18-6] 两间实验室如果都使用同一来源的校准，可能分享某项共同偏差。它在两者相减时抵消，因而彼此接近不必然表示两者都接近一个独立参照。只看不同机构的招牌，不能自动认定证据独立。

更有区分力的比较，可以安排不同方法、不同参照链或不同条件下的交叉检验。还可以让同一件传递标准按一定次序经过各实验室，并在返回时检查它是否改变。如果标准在运输途中变化，实验室之间的差异就不能全算到实验能力头上。公共比较不仅检查参与者，也检查承载比较关系的物。

为避免事后迎合结果，比较规则应尽可能预先明确：测量什么状态，报告哪些修正，采用什么不确定性说明，遇到离群结果怎样调查。规则可以在经验中改善，但不应在看见不喜欢的数据后悄悄重写。否则，表面上的一致可能只是筛选机制制造的，而不是测量系统实现的。

“谁来都一样”由此获得一种更强也更具体的含义：换人、换装置、换地点以后，结果能够在公开的变换与不确定性规则下维持相容；不能相容时，又有办法定位是哪种条件改变了。公共性不是差异的消失，而是差异能够参与共同检验。

十、从一次偏差到一个新测量系统

设想一组跨实验室比较反复出现同一方向的长度差。按SDE分析，S是已经稳定显露的偏差模式，D是运输、放置、温度平衡、读数和交换操作的序列，E是材料响应、参照尺度与修正模型的纠缠结构。三方程在这里不只是再写三个符号：S＝F(D,E)要求说明偏差如何发生；D＝G(S,E)要求用偏差设计新的比较；E＝H(S,D)要求让比较结果有资格修改既有模型。

最值得实行的是D—S—E的原型路径。先安排同一根杆在两个温度下重复比较，观察差异是否随温度改变；由这个初步显露检视原先的温度修正是否错用了尺的膨胀系数。若只是重复原操作而从不改变温度，就可能长期得到稳定偏差，却无法区分参照问题与对象问题。这条路径的价值来自具体差异安排，而不是三个字母的出现。

随后可以转入E—D—S的沉淀路径：把修订后的温度、材料和读数关系纳入程序，在新的运输和测量批次中执行，再观察原偏差是否消失或缩小到可解释范围。若修订只在提出它的那一批资料中有效，就尚未完成沉淀。新数据迫使模型承担额外风险，公共性才不是自我认证。

三原理的张力检查贯穿其中。S与D的张力要求审查E中的共同标度假设；S与E的张力要求改变D以检验温度解释；D与E的张力则可能要求重新规定S，把含混的“杆长”改为某个规定温度与支撑状态下的长度。第三维的改变必须返回原问题接受检查，不能靠改名把差异从记录中抹去。

十一、标准能够更新，公共物理才能继续发生

度量衡并未永远停在金属原器。二〇一八年国际计量大会通过修订，二〇一九年五月二十日起，国际单位制以七个定义常数的固定数值为基础，其中包括真空光速与普朗克常数。[18-7] 本章提到这一后续变化，是为了标明经典标准化工作的延伸，不是提前把现代量子实现归入牛顿时代。

从实物原器转向常数定义，并不意味着人们从此不需要仪器、校准与不确定性。定义规定单位，实际实现仍需要具体装置和受控过程。一个定义常数具有精确规定的数值，不等于每一间实验室实现相应单位时都没有误差。若把定义的精确性与实施的精确性混同，新的标准同样会被误用为不必检查的权威。

变化之中保持连续，是标准更新的重要任务。如果每次理论进步都让日常一米、一秒、一千克任意跳变，公共比较将无法累积。因此，新的定义与实现需要处理旧尺度的接续，使既有知识能够在可追查的关系中继续使用。这里再一次显示，稳定不是拒绝变化，而是能够组织变化而不丢失比较资格。

经典物理创造公共“物理”的成就，正体现在这些看似细碎的工作里。方程给出关系，测量让关系获得可共同实行的入口，标准让不同入口之间能够接续，误差分析又让接续不靠掩盖差异维持。本书的发生论解释并不否认物质对测量的约束，而是把这种约束与人的操作、制度和数学组织放回同一个复合发生过程。

由此通向后续章节的，不是一个终于排除所有人的纯净世界，而是一个能够通过训练、仪器与公开规则，让不同主体参与并相互纠正的物理世界。它之所以公共，不是因为没有任何人参与，而是因为参与方式能够被说明、比较、替换与修复。

参考资料

[18-1] BIPM，The Metre Convention。https://www.bipm.org/en/metre-convention [18-2] CGPM，Declaration of the 1st CGPM (1889)，认可米和千克国际原器。https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/1-1889/resolution- [18-3] JCGM，VIM3，2.39 Calibration。https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.39.html [18-4] JCGM，VIM3，2.41 Metrological traceability。https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.41.html [18-5] JCGM，VIM3，2.26 Measurement uncertainty。https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.26.html [18-6] JCGM，VIM3，2.47 Metrological compatibility of measurement results。https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.47.html [18-7] CGPM，Resolution 1 of the 26th CGPM (2018)，On the revision of the International System of Units。https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1