第四十八章 杨振宁与米尔斯：局部比较怎样成为相互作用
一、不同地方的内部方向怎样比较
电磁理论已经教会物理学：同一个物理状态可以有不同的势与相位描述。但当内部状态不再只有一个相位，而有几个能够相互转动的分量时，局部描述如何接续？在这里，比较本身成为问题。两个地点各自选用一套内部基，不能未经说明便把它们的分量直接相减。
杨振宁和米尔斯一九五四年的论文从同位旋的局部变换出发，构造新的规范场，并指出它的场方程具有非线性。[1]这项构造后来成为非阿贝尔规范理论的重要基础，但不能将当年以核子同位旋为入口的具体模型直接等同于今天的强相互作用理论。可继承的是结构方法，后来确定的群、物质表示与实验身份还需要另行建立。
本章集中解释这个结构方法改变了什么。我们用协变导数、两条路径的比较以及格点上的闭合乘积，把“局部内部变换”变成能够检查的关系。随后再问，这些数学关系怎样产生动力学约束，哪些仍只是描述冗余，哪些可以进入实验。
这里有一条贯穿全章的界线：选择内部基的自由，不等于自然多了一个可观测运动。规范势的引入允许我们组织相邻地点的比较；若要说引入了新的物理场，还须给它动力学、状态条件与可测后果。不能从“允许换写法”直接跳到“新相互作用已经被证明存在”。
二、普通导数在哪里失去共同意义
令ψ(x)是一个内部多分量场。在不同地点采用新的基，相应分量变为ψ′(x)＝U(x)ψ(x)，其中U(x)是幺正矩阵。如果只做全局变换，U不随位置变化，那么普通导数也简单地乘上U。若U因地而异，求导就多出一项：(∂_μU)ψ。因此∂_μψ不再与ψ按同样方式变换。
这个额外项不是粒子突然受到一种由书写者制造的力。它首先来自比较规则不完整：新坐标基在空间变化，普通导数同时记录了对象变化与基变化。若把两者都解释成物理场的变化，就会把描述任意性带进可观测预测。
为分离二者，定义D_μ＝∂_μ−igA_μ，其中A_μ是内部空间的厄米矩阵，g为耦合参数。要求D′_μψ′＝U D_μψ，逐项代入便得到A′_μ＝UA_μU⁻¹−(i/g)(∂_μU)U⁻¹。这个非齐次变换项恰好抵消基变化产生的额外导数。
可以检查阿贝尔特例。令U＝exp(iθ)，矩阵都可交换，则A′_μ＝A_μ＋∂_μθ/g。这个结果说明新构造保留了电磁规范结构作为简单情况。非阿贝尔并不是把电磁理论全盘推倒，而是允许内部变换不交换，从而改变局部比较的代数。
但“必须用协变导数”仍是带条件的命题：我们已经选择了局部描述冗余、场的变换表示以及希望保持的局域形式。它不证明所有可能世界都必须拥有同一规范群，也不单独决定g的数值。结构约束与经验输入共同组成理论，不能让前者冒充后者。
三、两次比较为何会留下曲率
现在比较沿两个不同方向的微小变化。把D_μD_ν与D_νD_μ相减，作用在任意合法ψ上，可得[D_μ,D_ν]ψ＝−igF_μνψ，其中F_μν＝∂_μA_ν−∂_νA_μ−ig[A_μ,A_ν]。前两项熟悉，最后的矩阵对易子是新的关键。
如果A_μ都是普通数，最后一项为零；若它们指向不同内部方向，就可能不交换。以SU(2)为例，令Tₐ＝σₐ/2，它们满足[Tₐ,T_b]＝iεₐbcT_c。取空间中恒定的A_x＝aT₁、A_y＝bT₂，普通导数全为零，却仍有F_xy＝gabT₃。没有位置梯度不代表没有非阿贝尔曲率。
这一算例对直觉提出了明确要求。对于普通电磁势，我们习惯从旋度判断磁场；现在必须同时考虑内部方向的连接次序。两个在空间上都恒定的矩阵，可以因内部运算不交换而产生非零场强。新物理不是把“颜色”当作一种肉眼可见的油漆，而是让内部表示的组合规则参与相互作用。
也可以直接比较小步矩阵。令X＝exp(igaℓT₁)、Y＝exp(igbℓT₂)，则XY与YX在二阶出现差别。闭合组合XYX⁻¹Y⁻¹约为I−ig²abℓ²T₃；方向约定若反转，符号也反转。这个结果与上述曲率相符，说明微分表达与路径乘法保存了同一结构。
此处的“绕一圈”是内部平行运输的数学比较，不等于实验中任意粒子必定沿这四条边走了一遍。要把它变成测量，需要指定探针、状态以及如何形成规范不变的输出。几何语言能够指导构造，却不能省略实验接口。
四、场强为何也不总能直接当观测值
在电磁学中，电场与磁场对通常的势规范变换保持不变。非阿贝尔场强一般只按F′_μν＝UF_μνU⁻¹协变，并不逐个分量不变。某一内部颜色分量的数字可以随基选择改变，不能把这个数字本身当作独立的仪器读数。[2]
不过，矩阵的适当组合可以消除这类任意性。例如tr(F_μνF_ρσ)在共同共轭下不变，因为迹可以循环移动矩阵。对刚才的恒定场例子，tr(F_xy²)＝g²a²b²/2；若用同一个U旋转全部内部方向，这个数保持。它表明我们可以从冗余变量中构造不依赖内部基的关系。
“可构造规范不变量”仍不等于“已经说明怎样测量”。一个局部复合算符可能需要重整化，实验提取也可能依赖复杂过程。但它至少通过了第一道必要检验：不同描述不会为同一物理安排给出互相矛盾的数字。理论的可观察内容要继续与动力学、制备和探测连接。
因此，规范冗余不应被赞美为自然的无限自由，也不应被贬成毫无用途的多余符号。它允许用局域且相对论形式清晰的变量组织问题，同时要求我们识别哪些差异不代表新状态。忽略前一面，会错失结构方法；忽略后一面，会凭空增加不可观测的物理内容。
在有边界或非平凡整体条件时，还必须说明允许的规范变换范围。某些边界变换关联实际荷或边界数据，不能把所有形式上相似的变化不加区分地宣布为纯冗余。本章主要处理局部平滑变换及固定边界条件；这个范围限定防止一句“规范都是假的”代替具体分析。
五、从开链到闭环的一次离散推导
把空间暂时分成格点，是看清比较结构的另一方法。令L_xy表示从地点y向地点x运输内部状态的矩阵。若每个地点独立换基G_x，必须有L′_xy＝G_xL_xyG_y⁻¹。端点的两个变换都在式中，才能使运输后的分量与新基相容。
考虑三点x、y、z组成的闭路。乘积W＝L_xyL_yzL_zx的变化为W′＝G_xWG_x⁻¹，因为中间地点的G_y、G_z与其逆矩阵依次抵消。因此tr W不变。这个抵消可以逐项核对，不依赖对“闭环天然真实”的直觉。开链矩阵本身保留端点基依赖，闭环的迹才去除了起点的共同共轭。
若所有连接都可以写成L_xy＝G_xG_y⁻¹，那么沿任意可收缩闭路相乘都得到单位矩阵。这是一种纯规范结构：各点记号可能变化很大，局部闭环却没有曲率。与之相反，前面的不交换恒定矩阵在小方环上产生非平凡结果，不能通过同类局部换基让全部连接同时变成单位。
这个例子揭示“连接不同”与“物理不同”的区别。两组连接若只差格点换基，闭环迹相同；但不同闭环数据通常能揭示不同的场组织。不能先把所有连接当作独立物理量，再额外用规范变换制造许多副本。正确计数要在等价类或相应约束之下进行。
格点间距在这里是分析与计算工具，不代表自然已经被证明由固定网格组成。若用格点近似连续理论，必须研究间距、体积和时间方向等极限。一个有限格点模拟给出漂亮图形，只说明有限问题已被计算；要声称对连续物理成立，还须展示相应控制。
六、一个有限闭环怎样显示非交换的大小
小环展开给出的是最低阶结构，还可以用二阶矩阵把有限环精确算出。令X＝cos u I＋i sin u σₓ，Y＝cos v I＋i sin v σ_y，闭环矩阵为XYX⁻¹Y⁻¹。反复使用σₓσ_y＝iσ_z及循环关系，取迹后得到半迹w＝1−2sin²u sin²v。这里u、v都是无量纲运输参数，已经包含耦合与路径长度。
若u或v为零，w＝1，因为其中一段内部作用消失，闭环乘积退回单位。如果u＝v＝π/2，X＝iσₓ、Y＝iσ_y，两者反对易，闭环得到−I，w＝−1。这一结果无法由把两种内部转动当作普通相位直接相加获得。非交换留下的差别不仅存在于抽象对易子，也可以在有限矩阵中完整计算。
但半迹不是闭环的全部信息。在SU(2)中它决定这一单个矩阵的共轭类，不能据此恢复沿路每段连接，更不能独自重建整个空间的场配置。不同配置可能在某一个环上给出相同w，需要改变环的形状、大小与位置取得更多约束。这与单个散射总截面不能唯一确定全部相互作用的道理相似。
还要注意小参数下的阶数。矩阵偏离单位的首项可以是uv阶，而迹中泡利矩阵为零，使w的首个偏离到u²v²阶才出现。一个可测不变量的首个敏感阶数，可能高于中间矩阵变化的阶数。因此不能只看内部变量已经变化明显，就断言某个选择的输出必然具有同样灵敏度。
七、局部为零为什么仍须检查整体条件
局部曲率说明小范围绕行的结构，却不能在任何空间上独自决定全部闭路信息。考虑一个具有周期坐标的圆环，先用阿贝尔模型说明。若势沿环恒定，局部场强可以为零，但环绕一周的相位为exp(ig∮A·dl)。只要这个相位不为一，保持单值与周期条件的规范变换就不能把它处处消去。
若企图用θ随坐标线性变化来抵消A，绕回原点时θ已经改变。只有当总相位差是整周倍数，新旧场的周期条件才相容。局部微分运算没有错，遗漏的是允许变换的整体边界要求。由此可见，宣布某场“只是纯规范”以前，应说明讨论的区域和可允许的变换。
这个圆环例子不证明所有规范势都能直接观察，也不把非阿贝尔问题还原成电磁学。它展示的是一个共同纪律：局部关系与整体条件共同决定等价类。将场强为零误写成一切运输效应为零，会在非单连通区域失效；反过来，承认整体效应也不意味着每个势分量变成可观测自由度。
对于研究实践，这项区别要求先辨认候选模型是否在相同边界条件下比较。如果一个计算允许周期单值变换，另一个偷偷改变了边界扭转，两者的谱差别可能来自不同物理任务，而不是同一理论的两种规范不一致。局部对称原则越精巧，越需要把这些看似次要的条件写清楚。
八、自相互作用怎样从同一个结构出现
若采用由tr(F_μνF^μν)组织的规范场动力学，非阿贝尔F中的对易子使作用量除了导数平方，还包含三次和四次的规范势项。这些项意味着规范场之间存在直接的自相互作用。它们不是在实验不吻合以后任意加上的每条独立规则，而受同一个场强结构和耦合约束。
用示意记号F＝∂A＋gAA，平方便有(∂A)²、g(∂A)AA以及g²AAAA。这里省略内部指标和时空收缩，只为显示阶数关系。三点与四点相互作用的系数不能在保持原结构时任意独立改变。若人为把其中一类删掉，某些相容性和高能抵消就可能失效。
这与电磁场在最低阶没有同类纯光子自耦合形成区别。但应避免过度陈述：量子电动力学中可以通过带电粒子圈产生光子之间的有效散射。准确的比较是，非阿贝尔规范作用量本身包含相应的树级自耦合，而不是“光子永远不会彼此影响”。不同机制可能产生相似的过程名称，却有不同阶数和条件。
同一个几何结构也不唯一决定完整理论。我们仍须选择规范群、物质场所在表示、允许的质量与相互作用，以及可能的更高维项。局域性、幺正性和指定精度下的有效展开会进一步限制选择，但不能从“有规范对称性”直接读出全部自然常数。
因此杨—米尔斯的创造在于建立一个强大的生成规则：一旦给定若干结构输入，许多相互作用关系不再彼此独立。它减少任意性，增加跨过程检验的可能，却并未取消经验选择。物理统一的力量正在这些受约束的联系中，而不在把所有未知都藏进一个漂亮名称。
九、分量多了，物理自由度为何不能照数相加
四维时空中，每个内部生成元对应A_μ的四个分量。若规范群有三个生成元，形式上便有十二个势分量；这不表示十二种独立传播的偏振。无质量规范场受到约束且具有描述冗余，在线性化的传播分析中，每个生成元对应两种物理横向偏振。[2]
以平面波说明最简单的计数。设波矢沿z方向，极化四矢量满足相应的横向条件，并允许加上与波矢成比例的纯规范部分。两个关系共同去掉不独立的时间和纵向组合，剩下x与y方向的传播偏振。非阿贝尔理论在围绕平凡背景的自由极限重复这一计数，但相互作用时还须维持约束的一致性。
如果直接给矢量势加入一个普通质量平方项，其非齐次规范变换一般不会保持原形式。不能只说“实验需要重粒子，所以加上质量就结束”。建立自洽质量机制、追踪纵向自由度从何而来，是下一章电弱理论必须处理的核心问题之一。
这个计数也不能自动推广到强耦合区所有可观测粒子。某种理论的微扰场变量不一定对应能够自由飞到探测器的单粒子。例如强相互作用中的色自由度与色单态强子的关系，需要非微扰动力学。看到拉格朗日量中一个场名，并不意味着实验必然能单独装进一瓶这种粒子。
本书所说新的“物”，因此应当在层次之间保持区别：内部场变量、规范不变组合、散射外态与实验重建粒子，可能相关但并非同义。一个理论的成熟，表现为它能说明这些层次怎样接续，而不是把其中最直观的一层强加给全部公式。
十、渐近自由让强相互作用获得新的尺度结构
一九七三年，格罗斯与威尔切克、波利策分别研究了非阿贝尔规范理论的高能行为，建立渐近自由这一关键结果。[3][4]其意义不是强相互作用从此处处变弱，而是某些理论在高能、短距离条件下的有效耦合减小，使微扰工具获得可控入口。
把一圈结果的结构写为dg/dlnμ＝−b₀g³，其中b₀为正。两边积分，得到1/g²(μ)＝1/g²(μ₀)＋2b₀ln(μ/μ₀)。因此μ增大时g减小。这个推导只使用给定的微分方程，足以显示对数运行；b₀的数值和符号则由群结构与物质内容的量子计算决定。
特别需要强调，加入足够多物质场可能改变系数符号。不能从“非阿贝尔”四字无条件推出任意物质配置都渐近自由。更不能由高能耦合趋小直接证明低能一定禁闭。高能可控展开与低能强动力学之间存在需要额外研究的距离。
若令μ向低处移动，公式可能在某个尺度给出很大的耦合，甚至形式发散。这是低阶微扰解失去可靠性的警报，不是实验已经发现一个无穷大的力。需要格点、有效理论或其他非微扰方法进入。将近似失效处的数学奇点直接当作自然奇点，是从计算到本体的一次越界。
这里μ是组织不同探测尺度的能标，不是宇宙时钟。今天用较高动量转移研究过程，可以得到比低动量过程更小的有效强耦合；这不表示同一实验放置若干年后强相互作用自行减弱。尺度运行与随宇宙时间变化，是不同命题，第五十章将专门追究它们的区别。
十一、从微扰场到可检验的集体输出
若规范势的颜色分量不能直接拿来测，非阿贝尔理论怎样接受检验？答案不能只是“通过一切实验”。必须指定由理论组织的可观察量，例如特定散射中的角分布、多个喷注之间的关联、色单态谱或合适定义的闭环量，并说明从场变量到这些量使用了哪些近似。
以喷注为例，高能过程中的短距离展开描述最初的夸克与胶子活动，而探测器记录的是大量强子、能量沉积与轨迹。一个喷注算法把这些记录按明确规则归类。改变归类规则可能改变数值，因此理论比较必须采用相同定义。喷注不是把一个孤立胶子直接放大到肉眼尺度，而是通过集体末态保留其部分可计算特征。
这类比较能够区分只含独立矢量传播的候选模型与具有非阿贝尔自耦合的模型，但需要综合不同过程、角关联和背景。不能说看到“三股喷注”这幅外观就无需计算地看见了某个抽象群。实验图形与结构归因之间有一条可以检查、也可能出错的推断链。
对格点谱计算也一样。一组输出能级接近实验，仍须追查参数是否已由这些能级输入、有限体积和格距误差怎样控制、其他独立量是否被预测。规范理论的解释力不是由公式的复杂度保证，而由同一有限输入能否约束丰富结果来体现。
十二、闭环比较怎样改变研究的入口
沿E—D—S沉淀路径，可以先从局部比较和不交换连接构成的特征纠缠E出发，安排能够检验路径、尺度或自耦合差别的差异运行D，再形成可比较的显露S。这个顺序不是要求实验服从理论想象，而是要求理论将自己的结构承诺转成别人能够反驳的操作任务。
S＝F(D,E)要求输出与过程定义、约束和场结构共同相容。D＝G(S,E)要求已经显露的残差与候选连接规则一起决定下一种实验或计算。E＝H(S,D)则要求被多种操作稳定保留的差别反过来修订相互作用结构。这里E是比较、变换、传播与观测之间的制约，不是把群名、年代和实验室并列成背景表。
三种张力在具体工作中各有负担。S与D在独立过程间不能协调，推动E检查是否缺了自耦合或错误物质表示，再用未参与拟合的过程回检。D与E在当前分辨率下不能协调，推动构造新的S，例如不同角关联而不是单一总事件数，并检查新输出是否确实区分候选。S与E保持冲突，则推动D改变能标、末态分类或格点参数，检查差异来自物理还是近似。
这一研究结构也保护我们不把“局部任意性”误认为主观意识创造相互作用。局部基可以任意选择，实验结果不能任意选择；理论允许的变换越多，越要说明哪些关系在这些变换下保留。规范理论的创造力不是给自然增添无法约束的自由，而是在有冗余的表示中建立更严格的共同约束。
杨—米尔斯理论使相互作用的身份进一步改变：不再只是物体之间的一种外加作用，还涉及不同地点的内部状态怎样比较、这些比较如何绕路、以及连接自身怎样参与动力学。这个结构成为下一章的工具，但具体标准模型仍须说明为何选择那一套群、物质和破缺结构，并用新粒子的性质逐项接受检验。某套结构能够写得自洽，只取得了成为候选理论的资格；它是否对应自然，还要由独立数据决定。理论创造与经验约束在这里并行推进，任何一方都不能把另一方的工作预先宣布完成。
参考文献与核验入口
[1] C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Physical Review 96 (1954), 191–195. DOI:10.1103/PhysRev.96.191。原文：https://eclass.upatras.gr/modules/document/file.php/PHY2129/PhysRev.96.191.pdf 。参见局部变换、场强及非线性场方程。 [2] David Tong, Gauge Theory，第2章 Yang–Mills Theory，作者课程讲义：https://davidtong.org/pdfs/teaching/gauge-theory/gauge2.pdf 。参见规范冗余、自由度与闭合运输。本章矩阵与格点算例独立展开。 [3] D. J. Gross and F. Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories, Physical Review Letters 30 (1973), 1343–1346. DOI:10.1103/PhysRevLett.30.1343。原刊：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.30.1343 。 [4] H. D. Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?, Physical Review Letters 30 (1973), 1346–1349. DOI:10.1103/PhysRevLett.30.1346。原刊摘要：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.30.1346 。